رمزنگاری منحنی بیضوی BigInt جاوا اسکریپت: نگاهی عمیق به عملیات پیشرفته

در عصری که تعاملات دیجیتال، از امور مالی غیرمتمرکز (DeFi) گرفته تا پیام‌رسانی با رمزگذاری سرتاسری، بر آن تسلط دارد، استحکام پایه‌های رمزنگاری ما هرگز حیاتی‌تر نبوده است. رمزنگاری منحنی بیضوی (ECC) ستون فقرات رمزنگاری کلید عمومی مدرن است و در مقایسه با پیشینیان خود مانند RSA، امنیت قوی با اندازه‌های کلید کوچک‌تر ارائه می‌دهد. سال‌ها بود که انجام این عملیات پیچیده ریاضی مستقیماً در جاوا اسکریپت چالش‌برانگیز بود و اغلب نیازمند کتابخانه‌های تخصصی بود که جزئیات سطح پایین را انتزاع می‌کردند یا با محدودیت‌های نوع عددی استاندارد جاوا اسکریپت سروکار داشتند.

معرفی نوع بومی BigInt در جاوا اسکریپت (ES2020) لحظه‌ای انقلابی بود. این امر توسعه‌دهندگان را از محدودیت‌های نوع Number شناور با دقت ۶۴ بیتی رها کرد و مکانیزمی برای مدیریت اعداد صحیح دلخواه بزرگ فراهم کرد. این ویژگی واحد، پتانسیل پیاده‌سازی‌های رمزنگاری پرفورمنس، بومی و شفاف‌تر را مستقیماً در محیط‌های جاوا اسکریپت مانند مرورگرها و Node.js باز کرد.

در حالی که بسیاری از توسعه‌دهندگان با اصول اولیه ECC—تولید زوج کلید و امضای پیام‌ها—آشنا هستند، قدرت واقعی این فناوری در عملیات پیشرفته‌تر آن نهفته است. این مقاله فراتر از مبانی رفته و به بررسی پروتکل‌ها و تکنیک‌های پیچیده رمزنگاری می‌پردازد که اکنون به لطف BigInt در دسترس هستند. ما به Diffie-Hellman منحنی بیضوی (ECDH) برای تبادل کلید امن، بازیابی کلید عمومی از امضاها، و امضاهای قدرتمند و مناسب برای تجمیع شنور خواهیم پرداخت.

انقلاب BigInt در رمزنگاری جاوا اسکریپت

قبل از اینکه به عملیات پیشرفته بپردازیم، درک اینکه چرا BigInt یک تغییر دهنده بازی برای رمزنگاری در جاوا اسکریپت است، ضروری است.

مشکل نوع `Number`

نوع سنتی Number جاوا اسکریپت یک عدد شناور با دقت مضاعف IEEE 754 با ۶۴ بیت است. این فرمت برای طیف وسیعی از برنامه‌ها عالی است اما یک محدودیت حیاتی برای رمزنگاری دارد: این نوع تنها می‌تواند اعداد صحیح را تا Number.MAX_SAFE_INTEGER که برابر با ۲^۵۳ - ۱ است، با اطمینان نمایش دهد.

کلیدهای رمزنگاری و مقادیر میانی در ECC بسیار بزرگتر هستند. به عنوان مثال، منحنی محبوب secp256k1 که توسط بیت کوین و اتریوم استفاده می‌شود، بر روی میدانی از اعداد اول ۲۵۶ بیتی کار می‌کند. این اعداد به مراتب بزرگتر از آن چیزی هستند که نوع استاندارد Number می‌تواند بدون از دست دادن دقت مدیریت کند. تلاش برای انجام محاسبات با چنین اعدادی منجر به نتایج نادرست و ناامن می‌شود.

ورود `BigInt`: اعداد صحیح با دقت دلخواه

BigInt این مشکل را به زیبایی حل می‌کند. این یک نوع عددی متمایز است که راهی برای نمایش اعداد صحیح با هر اندازه‌ای فراهم می‌کند. شما می‌توانید یک BigInt را با افزودن `n` به انتهای یک لیترال عدد صحیح یا با فراخوانی سازنده BigInt() ایجاد کنید.

مثال:

const aLargeNumber = 9007199254740991n; // Safe with BigInt
const anEvenLargerNumber = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663n; // A 256-bit prime number

با BigInt، تمام عملگرهای حسابی استاندارد (+، -، *، /، %، **) همانطور که انتظار می‌رود بر روی این اعداد عظیم کار می‌کنند. این قابلیت، سنگ بنای پیاده‌سازی‌های بومی ECC جاوا اسکریپت است که امکان محاسبه مستقیم، دقیق و امن الگوریتم‌های رمزنگاری را بدون اتکا به ماژول‌های WebAssembly خارجی یا کتابخانه‌های عددی چند قسمتی دست و پا گیر فراهم می‌کند.

مروری بر مبانی رمزنگاری منحنی بیضوی

برای قدردانی از عملیات پیشرفته، بیایید مفاهیم اصلی ECC را به طور خلاصه مرور کنیم.

در اصل، ECC بر ساختار جبری منحنی‌های بیضوی بر روی میدان‌های محدود استوار است. این منحنی‌ها با معادله وایرشتراس تعریف می‌شوند:

y² = x³ + ax + b (mod p)

که در آن `a` و `b` ثابت‌هایی هستند که شکل منحنی را تعیین می‌کنند، و `p` یک عدد اول بزرگ است که میدان محدود را تعریف می‌کند.

مفاهیم کلیدی

• نقطه روی منحنی: یک جفت مختصات (x, y) که معادله منحنی را برآورده می‌کند. تمام عملیات رمزنگاری ما اساساً «حساب نقطه» هستند.
• نقطه پایه (G): یک نقطه شروع استاندارد و عمومی شناخته شده روی منحنی.
• کلید خصوصی (d): یک عدد صحیح تصادفی بسیار بزرگ و امن از نظر رمزنگاری. این رمز شماست. در زمینه BigInt، `d` یک BigInt بزرگ است.
• کلید عمومی (Q): نقطه‌ای روی منحنی که از کلید خصوصی و نقطه پایه از طریق عملیاتی به نام ضرب اسکالر به دست می‌آید: Q = d * G. این به معنای اضافه کردن نقطه G به خودش `d` بار است.

امنیت ECC به مسئله لگاریتم گسسته منحنی بیضوی (ECDLP) متکی است. محاسبه کلید عمومی `Q` با داشتن کلید خصوصی `d` و نقطه پایه `G` از نظر محاسباتی آسان است. با این حال، تعیین کلید خصوصی `d` با داشتن تنها کلید عمومی `Q` و نقطه پایه `G` از نظر محاسباتی غیرممکن است.

عملیات پیشرفته ۱: تبادل کلید Diffie-Hellman منحنی بیضوی (ECDH)

یکی از قدرتمندترین کاربردهای ECC، ایجاد یک راز مشترک بین دو طرف از طریق یک کانال ارتباطی ناامن است. این کار با استفاده از پروتکل تبادل کلید Diffie-Hellman منحنی بیضوی (ECDH) انجام می‌شود.

هدف

تصور کنید دو نفر، آلیس و باب، می‌خواهند به طور امن ارتباط برقرار کنند. آنها نیاز به توافق بر روی یک کلید رمزگذاری متقارن دارند که فقط آنها بدانند، اما تنها وسیله ارتباطی آنها یک کانال عمومی است که شنودکننده‌ای به نام ایو می‌تواند آن را نظارت کند. ECDH به آنها امکان می‌دهد یک راز مشترک یکسان را بدون انتقال مستقیم آن محاسبه کنند.

پروتکل گام به گام

1. تولید کلید:
   • آلیس کلید خصوصی خود، `d_A` (یک BigInt تصادفی بزرگ)، و کلید عمومی متناظر خود، `Q_A = d_A * G` را تولید می‌کند.
   • باب کلید خصوصی خود، `d_B` (یک BigInt تصادفی بزرگ دیگر)، و کلید عمومی خود، `Q_B = d_B * G` را تولید می‌کند.
2. تبادل کلید عمومی:
   • آلیس کلید عمومی خود، `Q_A` را برای باب ارسال می‌کند.
   • باب کلید عمومی خود، `Q_B` را برای آلیس ارسال می‌کند.
   • ایو، شنود کننده، می‌تواند هر دو `Q_A` و `Q_B` را ببیند، اما به دلیل ECDLP نمی‌تواند کلیدهای خصوصی `d_A` یا `d_B` را استخراج کند.
3. محاسبه راز مشترک:
   • آلیس کلید عمومی باب، `Q_B` را گرفته و آن را در کلید خصوصی خود `d_A` ضرب می‌کند تا نقطه‌ای به نام S به دست آورد: S = d_A * Q_B.
   • باب کلید عمومی آلیس، `Q_A` را گرفته و آن را در کلید خصوصی خود `d_B` ضرب می‌کند تا نقطه‌ای به نام S به دست آورد: S = d_B * Q_A.

جادوی جابجایی

هم آلیس و هم باب به یک نقطه مشترک `S` دقیقاً یکسان روی منحنی می‌رسند. این به این دلیل است که ضرب اسکالر شرکت‌پذیر و جابجایی است:

محاسبه آلیس: S = d_A * Q_B = d_A * (d_B * G)

محاسبه باب: S = d_B * Q_A = d_B * (d_A * G)

از آنجایی که d_A * d_B * G = d_B * d_A * G، هر دو نتیجه یکسانی را بدون افشای کلیدهای خصوصی خود محاسبه می‌کنند.

از نقطه مشترک تا کلید متقارن

راز مشترک حاصل `S` یک نقطه روی منحنی است، نه یک کلید متقارن مناسب برای الگوریتم‌های رمزگذاری مانند AES. برای استخراج یک کلید، یک روش استاندارد این است که مختصات x نقطه `S` را گرفته و آن را از طریق یک تابع استخراج کلید (KDF)، مانند HKDF (تابع استخراج کلید مبتنی بر HMAC) عبور دهید. KDF راز مشترک و به صورت اختیاری یک salt و اطلاعات دیگر را دریافت کرده و یک کلید قوی از نظر رمزنگاری با طول دلخواه تولید می‌کند.

تمام محاسبات زیرین—تولید کلیدهای خصوصی به صورت BigIntهای تصادفی و انجام ضرب اسکالر—به شدت به محاسبات BigInt متکی هستند.

عملیات پیشرفته ۲: بازیابی کلید عمومی از امضاها

در بسیاری از سیستم‌ها، به ویژه بلاک چین‌ها، کارایی و کاهش حجم داده‌ها از اهمیت بالایی برخوردار است. به طور معمول، برای تأیید یک امضا، به پیام، خود امضا و کلید عمومی امضاکننده نیاز دارید. با این حال، یک ویژگی هوشمندانه الگوریتم امضای دیجیتال منحنی بیضوی (ECDSA) به شما امکان می‌دهد کلید عمومی را مستقیماً از پیام و امضا بازیابی کنید. این بدان معناست که کلید عمومی نیازی به انتقال ندارد و باعث صرفه‌جویی در فضا می‌شود.

نحوه کار (سطح بالا)

یک امضای ECDSA از دو جزء تشکیل شده است (r, s).

• `r` از مختصات x یک نقطه تصادفی `k * G` مشتق می‌شود.
• `s` بر اساس هش پیام (`z`)، کلید خصوصی (`d`) و `r` محاسبه می‌شود. فرمول این است: `s = k_inverse * (z + r * d) mod n` که در آن `n` مرتبه منحنی است.

از طریق دستکاری جبری معادله تأیید امضا، امکان استخراج عبارتی برای کلید عمومی `Q` وجود دارد. با این حال، این فرآیند دو کلید عمومی معتبر ممکن را به دست می‌دهد. برای رفع این ابهام، بخش کوچکی از اطلاعات اضافی به نام شناسه بازیابی (معمولاً با `v` یا `recid` نشان داده می‌شود) همراه با امضا گنجانده می‌شود. این شناسه، که معمولاً ۰، ۱، ۲ یا ۳ است، مشخص می‌کند که کدام یک از راه‌حل‌های ممکن صحیح است و آیا مختصات y کلید زوج یا فرد است.

چرا `BigInt` ضروری است

عملیات ریاضی مورد نیاز برای بازیابی کلید عمومی فشرده هستند و شامل معکوس‌های مدولار، ضرب و جمع اعداد ۲۵۶ بیتی می‌شوند. به عنوان مثال، یک گام کلیدی شامل محاسبه `(r_inverse * (s*k - z)) * G` است. این عملیات دقیقاً همان چیزی است که `BigInt` برای آن طراحی شده است. بدون آن، انجام این محاسبات در جاوا اسکریپت بومی بدون از دست دادن قابل توجه دقت و امنیت غیرممکن خواهد بود.

کاربرد عملی: تراکنش‌های اتریوم

این تکنیک به طور مشهور در اتریوم استفاده می‌شود. یک تراکنش امضا شده مستقیماً حاوی آدرس عمومی فرستنده نیست. در عوض، آدرس (که از کلید عمومی مشتق شده است) از اجزای `v`، `r` و `s` امضا بازیابی می‌شود. این انتخاب طراحی ۲۰ بایت را از هر تراکنش صرفه‌جویی می‌کند، که در مقیاس یک بلاک چین جهانی صرفه‌جویی قابل توجهی است.

عملیات پیشرفته ۳: امضاهای شنور و تجمیع

در حالی که ECDSA به طور گسترده‌ای استفاده می‌شود، دارای اشکالاتی است، از جمله قابلیت تغییر امضا و عدم وجود خواص تجمیع. امضاهای شنور، طرح دیگری مبتنی بر ECC، راه‌حل‌های ظریفی برای این مشکلات ارائه می‌دهند و توسط بسیاری از رمزنگاران برتر محسوب می‌شوند.

مزایای کلیدی امضاهای شنور

• امنیت قابل اثبات: آنها اثبات امنیتی ساده‌تر و قوی‌تری نسبت به ECDSA دارند.
• عدم تغییرپذیری: امکان ندارد که شخص ثالثی یک امضای معتبر را به یک امضای معتبر دیگر برای همان پیام و کلید تبدیل کند.
• خطی بودن (قدرت فوق‌العاده): این مهم‌ترین مزیت است. امضاهای شنور خطی هستند که امکان تکنیک‌های تجمیع قدرتمندی را فراهم می‌کند.

تجمیع امضا توضیح داده شده

خاصیت خطی بودن به این معنی است که چندین امضا از چندین امضاکننده را می‌توان در یک امضای واحد و فشرده ترکیب کرد. این یک تغییر دهنده بازی برای طرح‌های امضای چندگانه (multisig) است.

سناریویی را در نظر بگیرید که در آن یک تراکنش نیاز به امضای ۳ نفر از ۵ شرکت‌کننده دارد. با ECDSA، شما باید تمام سه امضای فردی را در بلاک چین قرار دهید که فضای قابل توجهی را اشغال می‌کند.

با امضاهای شنور، فرآیند بسیار کارآمدتر است:

1. تجمیع کلید: ۳ شرکت‌کننده می‌توانند کلیدهای عمومی فردی خود (Q1، Q2، Q3) را برای ایجاد یک کلید عمومی تجمیعی واحد (Q_agg) ترکیب کنند.
2. تجمیع امضا: از طریق یک پروتکل مشارکتی مانند MuSig2، شرکت‌کنندگان می‌توانند یک امضای تجمیعی واحد (S_agg) ایجاد کنند که برای کلید عمومی تجمیعی Q_agg معتبر باشد.

نتیجه یک تراکنش است که از بیرون شبیه به یک تراکنش استاندارد تک امضاکننده به نظر می‌رسد. این تراکنش دارای یک کلید عمومی و یک امضا است. این امر کارایی، مقیاس‌پذیری و حریم خصوصی را به طور چشمگیری بهبود می‌بخشد، زیرا تنظیمات پیچیده چند امضایی از تنظیمات ساده قابل تشخیص نخواهند بود.

نقش `BigInt`

جادوی تجمیع ریشه در جمع ساده نقاط منحنی بیضوی و حساب اسکالر دارد. ایجاد کلید تجمیعی شامل `Q_agg = Q1 + Q2 + Q3` است و ایجاد امضای تجمیعی شامل جمع مؤلفه‌های امضای فردی به پیمانه مرتبه منحنی است. تمام این عملیات—که پروتکل‌هایی مانند MuSig2 را تشکیل می‌دهند—بر روی اعداد بزرگ و مختصات منحنی انجام می‌شوند، که BigInt را به ابزاری ضروری برای پیاده‌سازی امضاهای شنور و طرح‌های تجمیع در جاوا اسکریپت تبدیل می‌کند.

ملاحظات پیاده‌سازی و بهترین شیوه‌های امنیتی

در حالی که BigInt به ما قدرت درک و پیاده‌سازی این عملیات پیشرفته را می‌دهد، ساختن رمزنگاری در سطح تولید یک کار پرخطر است. در اینجا برخی از ملاحظات حیاتی آورده شده است.

۱. هرگز رمزنگاری خود را برای تولید «رول» نکنید

این مقاله با هدف آموزش و توضیح مکانیک‌های زیربنایی است. شما هرگز نباید این اصول رمزنگاری را از ابتدا برای یک برنامه تولیدی پیاده‌سازی کنید. از کتابخانه‌هایی مانند `noble-curves` که به خوبی آزمایش شده، ممیزی شده و مورد بررسی همتا قرار گرفته‌اند، استفاده کنید. این کتابخانه‌ها توسط متخصصان ساخته شده‌اند و مسائل امنیتی ظریف اما حیاتی متعددی را در نظر می‌گیرند.

۲. عملیات زمان ثابت و حملات کانال جانبی

یکی از خطرناک‌ترین تله‌ها، حمله کانال جانبی است. یک مهاجم می‌تواند جنبه‌های غیرعملکردی یک سیستم—مانند مصرف برق یا زمان دقیق اجرای یک عملیات—را تحلیل کند تا اطلاعاتی درباره کلیدهای خصوصی نشت کند. به عنوان مثال، اگر ضرب با یک بیت '۱' در کلید کمی بیشتر از ضرب با یک بیت '۰' طول بکشد، مهاجم می‌تواند با مشاهده تغییرات زمان‌بندی، کلید را بازسازی کند.

عملیات استاندارد BigInt در جاوا اسکریپت زمان ثابت ندارند. زمان اجرای آنها می‌تواند به مقدار عملوندها بستگی داشته باشد. کتابخانه‌های رمزنگاری حرفه‌ای از الگوریتم‌های بسیار تخصصی استفاده می‌کنند تا اطمینان حاصل کنند که تمام عملیات مربوط به کلیدهای خصوصی صرف نظر از مقدار کلید، زمان ثابتی طول می‌کشد و در نتیجه این تهدید را کاهش می‌دهد.

۳. تولید اعداد تصادفی امن

امنیت هر سیستم رمزنگاری با کیفیت تصادفی بودن آن آغاز می‌شود. کلیدهای خصوصی باید با استفاده از یک تولیدکننده اعداد شبه تصادفی امن از نظر رمزنگاری (CSPRNG) تولید شوند. در محیط‌های جاوا اسکریپت، همیشه از APIهای داخلی استفاده کنید:

• مرورگر: crypto.getRandomValues()
• Node.js: crypto.randomBytes()

هرگز از `Math.random()` برای اهداف رمزنگاری استفاده نکنید، زیرا این تابع برای غیرقابل پیش‌بینی بودن طراحی نشده است.

۴. اعتبارسنجی پارامتر دامنه و کلید عمومی

هنگام دریافت کلید عمومی از یک منبع خارجی، تأیید آن بسیار مهم است. یک مهاجم می‌تواند یک نقطه مخرب ارائه دهد که در واقع روی منحنی بیضوی مشخص شده نیست، که می‌تواند منجر به حملاتی شود که کلید خصوصی شما را در طول تبادل کلید ECDH (به عنوان مثال، حملات منحنی نامعتبر) فاش می‌کند. کتابخانه‌های معتبر این اعتبارسنجی را به طور خودکار انجام می‌دهند.

نتیجه‌گیری

ورود BigInt چشم‌انداز رمزنگاری را در اکوسیستم جاوا اسکریپت به طور بنیادی متحول کرده است. این امر ECC را از حوزه کتابخانه‌های جعبه سیاه و مبهم به چیزی منتقل کرده است که می‌توان به صورت بومی پیاده‌سازی و درک کرد، و سطح جدیدی از شفافیت و قابلیت را ترویج داده است.

ما بررسی کردیم که چگونه این ویژگی واحد عملیات رمزنگاری پیشرفته و قدرتمندی را امکان‌پذیر می‌سازد که برای سیستم‌های امن مدرن حیاتی هستند:

• تبادل کلید ECDH: مبنای برقراری کانال‌های ارتباطی امن.
• بازیابی کلید عمومی: تکنیکی که کارایی را افزایش می‌دهد و برای سیستم‌های مقیاس‌پذیر مانند بلاک چین‌ها حیاتی است.
• امضاهای شنور: طرح امضای نسل بعدی که کارایی، حریم خصوصی و مقیاس‌پذیری برتر را از طریق تجمیع ارائه می‌دهد.

به عنوان توسعه‌دهنده و معمار، درک این مفاهیم پیشرفته دیگر فقط یک تمرین آکادمیک نیست. اینها امروز در سیستم‌های جهانی، از ارتقاء Taproot در بیت کوین گرفته تا پروتکل‌های پیام‌رسانی امن که مکالمات روزمره ما را محافظت می‌کنند، به کار گرفته می‌شوند. در حالی که پیاده‌سازی نهایی باید همیشه به کتابخانه‌های ممیزی شده و بررسی شده توسط متخصصان واگذار شود، درک عمیق مکانیک‌ها، که با ابزارهایی مانند BigInt امکان‌پذیر شده است، ما را قادر می‌سازد تا برنامه‌های امن‌تر، کارآمدتر و نوآورانه‌تری را برای مخاطبان جهانی بسازیم.